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∫xE^2xDx

∫xe^2xdx,分部积分 u=x v=1/2e^2x 则=1/2xe^2x-∫1/2e^2xdx =1/2xe^2x-1/2∫e^2xdx =1/2xe^2x-1/4e^2x+c

不定积分∫(xe^(2x))dx ∫(xe^(2x))dx = 1/2 * ∫xde^(2x) = 1/2 * [xe^(2x) - ∫e^(2x)dx] = 1/2 * [xe^(2x) - 1/2 * e^(2x)] + C = 1/4 * e^(2x)[2x - 1] + C

使用分部积分法即可,得到 ∫xe^2xdx =∫0.5xe^2xd2x =0.5∫x d(e^2x) =0.5x *e^2x -0.5∫e^2xdx =0.5x *e^2x -0.25e^2x +C,C为常数

原式=∫(0,1)1/2xe^2xd2x =∫(0,1)1/2xde^2x =1/2xe^2x(0,1)-1/2∫(0,1)e^2xdx =1/2xe^2x(0,1)-1/4∫(0,1)e^2xd(2x) =(1/2xe^2x-1/4e^2x)(0,1) =(1/2*e²-1/4*e²)-(0-1/4) =(e²+1)/4

1/2∫e^2xdx =1/4∫e^2xd2x 是因为dx变为d2x了 dx=(1/2)d2x 1/2∫e^2xdx =1/2∫e^2x(1/2)d2x =1/4∫e^2xd2x

使用分部积分法,得到 ∫ x *e^(1/2x) dx =∫ 2x *e^(1/2x) d(1/2x) =∫ 2x d[e^(1/2x)] =2x *e^(1/2x) -∫ 2e^(1/2x) dx =2x *e^(1/2x) -∫ 4e^(1/2x) d(1/2x) =2x *e^(1/2x) - 4e^(1/2x) +C,C为常数

主要过程如下:

分部积分

求积分? 换元公式法

即x *∫(上限2x 下限0) e∧tdt 对x求导 显然∫(上限2x 下限0) e∧tdt= 1/2 *e^2x -1 故得到 (x/2 *e^2x -x)' =1/2 *e^2x -x *e^2x -1 =(1/2-x) *e^2x -1

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