knrt.net
当前位置:首页 >> 伯努利微分方程通解 >>

伯努利微分方程通解

伯努利方程 y' + P(x)y = Q(x)y^a (a ≠ 1) 令 y^(1-a) = z, 则 y = z^[1/(1-a)], y' = [1/(1-a)]z^[a/(1-a)]z' 可将伯努利方程化为一阶线性微分方程,求其通解后, 将 z = y^(1-a) 回代即可.例伯努利方程: dy/dx -y/x = y^3 令 1/y^2 = z, 则 y = z^(-1/2), dy/dx =

设u=yu'-2u=-4xu=y=C e^(2x)+2x+1

解:∵y'=(y^2+x^3)/(2xy) ==>2xydy-y^2dx=x^3dx ==>2ydy/x-y^2dx/x^2=xdx (等式两端同除x^2) ==>d(y^2/x)=d(x^2/2) ==>∫d(y^2/x)=∫d(x^2/2) ==>y^2/x=x^2/2+C (C是常数) ==>y^2=x^3/2+Cx ∴此方程的通解是y^2=x^3/2+Cx.

此题属于伯努利方程求通解,求的过程见图.伯努利方程求通解方法,是先换元,z=1/y,则 伯努利方程化为z的一阶线性微分方程.代一阶线性微分方程的通解公式,可得到通解.伯努利方程求通解,步骤见上.

解:∵令z=1/y^2,则y'=-z'/(2yz^2) ∴代入原方程,化简得 z'-4xz=-4x^3.(1) ∵方程(1)是一阶线性微分方程 ∴由一阶线性微分方程通解公式知,方程(1)的通解是 z=Ce^(2x^2)+x^2+1/2 (C是常数) ==>1/y^2=Ce^(2x^2)+x^2+1/2 ==>(Ce^(2x^2)+x^2+1/2)y^2=1 故原方程的通解是(Ce^(2x^2)+x^2+1/2)y^2=1.

令u=y/x,则y=ux,y'=u+u'x 原方程同除以x^2,将上述变换带入得: u'x=3(1+u^2)arctanu 即: darctanu/arctanu=3dx/x 积分得:arctanu=a*x^3 即:u=y/x=tan(a*x^3) y=x*tan(a*x^3) 这是通解,将初值条件带入,可得: 1=tana,可得a=π/4,从而特解为: y=x*tan[(π/4)*x^3]

dz/dx-z/x=-1/axdz/dx=(az-1)/axdz/(az-1)=dx/ax(1/a)ln(az-1)=(1/a)lnx+(1/a)lnC1ln(az-1)=ln(C1x)az-1=C1xz=(C1x+1)/af(x)=1/z=a/(C1x+1)=f(0)/(C1x+1)C1是常数,题目答案中的C√f(0)也是常数,没有区别,令C=C1/√f(0)即可.

1.两边同除以y^2,y'/y^2+1/y=(cosx-sinx)设u=1/y,代入得:-u'+u=(cosx-sinx),或:u'-u=-cosx+sinx通解为:u=e^x(c+∫(sinx-cosx)e^(-x)dx=e^x(c-sinxe^(-x))=ce^x-sinx 即:1/y=ce^x-sinx 2.两边同除以y^(7/2) y'/y^(7/2) +y^(-5/2) /x=2x^(-1/2)设u=y^(-5/2),

伯努利微分方程,令z=1/y

设y'=p(y),则y''=dp/dy*p=siny,∴pdp=sinydy,∴(1/2)p^=-cosy+c,∴p=√(2c-2cosy),∴dy/√(2c-2cosy)=dx,∴x=∫dy/√(2c-2cosy),其中c是常数.

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by www.knrt.net
copyright ©right 2010-2021。
内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com