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计算二重积分∫∫√(x^2+y)DxDy,其中D:x^2+y^2≤2x

设x=rcost y=rsint -π/2<=t<=π/2 所以r^2<=2rcost r<=2cost ∫∫√(x^2+y^2)dxdy=∫[-π/2,π/2] dt ∫[0,2cost] r^2dr=∫[-π/2,π/2] dt 1/3r^3 [0,2cost]=8/3 ∫[-π/2,π/2] cos^3t dt=8/3∫[-π/2,π/2] (1-sin^2t) d(sint)=8/3*(sint-1/3sin^3t) [-π/2,π/2]=32/9

余下自己算

计算二重积分∫∫ √(x^2+y^2)dxdy,其中D为x^2+y^2≤2x.0yx 计算二重积分∫∫ √(x^2+y^2)dxdy,其中D为x^2+y^2≤2x.0yx

首先计算∫∫xdxdy,由于被积函数是关于x的奇函数,而积分区域关于y轴对称,所以∫∫xdxdy=0,原积分=∫∫(x^2+y^2)dxdy,用极坐标计算,=∫dθ∫r^3dr,(r积分限0到1,θ积分限0到2π)=2π/4=π/2

图形的范围是以(1,0)为圆心,1为半径的上面半个圆

利用极坐标变来换吧,积分区域恰自为以原点为圆2113心,以π为半径的圆 x=rcosθ,5261y=rsinθ,则dxdy=rdrdθ 所以∫∫D(√x^41022+y^2)dxdy=∫[0,2π]dθ∫1653[0,π]r^2dr=π^3/3*∫[0,2π]dθ=2π^4/3

利用极坐标变换吧,积分区域恰为以原点为圆心,以π为半径的圆x=rcosθ,y=rsinθ,则dxdy=rdrdθ所以∫∫D(√x^2+y^2)dxdy=∫[0,2π]dθ∫[0,π]r^2dr=π^3/3*∫[0,2π]dθ=2π^4/3

a^2≤x^+y^2≤b^2令x=pcosa,y=psinaa≤p≤b,0≤a≤2π∫∫√(x^2+y^2)dxdy=∫[0,2π]da∫[a,b]p*pdp=a[0,2π]*1/2p^2[a,b]=π(b^2-a^2)

用极坐标算 x=ρcosαy=ρsinα积分区域D是上半圆,ρ∈[0,1],α∈[0,π]∫∫√(x^2+y^2)dxdy=∫dα∫ρ^2dρ(dα前的上限是π,下限是0;dρ的上限是1,下限是0)=∫1/3dα=π/3

用极坐标:∫∫√(x^2+y^2)dxdy=∫(0,2π)dθ∫(1,2)r^2dr=2π(8-1)/3=14π/3

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