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在某一点条件收敛能确定收敛半径和收敛域么

一般的推导用第n+1项除以第n项,整个的绝对值,小于1,解出x(或x-a这决定于你级数的展开)的绝对值小于的值就是收敛半径收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域比如收敛半径是r,求收敛域,就是判断x(或x-a)的对值r时必发散,所以只要判断=r时的两个点是否收敛即可,如过有收敛就把该点并到 作业帮用户 2017-10-12 举报

∑anx^n的收敛半径就按公式lim(n>∞)(上极限)|an|^(1/n)求,收敛域只需再考虑端点收敛情况从而判断区间类型.

在4条件收敛说明4就是一个端点,由于幂级数是关于 x-1 的,所以另一个端点是-2,所以收敛半径是3,收敛区间是(-2,4)

解:lim(n→无穷)|a(n+1)/an|=lim(n→无穷)|n+1/n|=1=若0所以r=1/若=1(收敛半径) 当x=-1时 级数为σ n(x^n)=σ n(-1)^n 根据莱布尼茨判别法 可知此时级数发散 当x=1时 级数σ n(x^n)=σ n 显然此时级数发散 所以收敛域为(-1,1)

把半径端点的值带进去,判断其敛散性

幂级数的收敛性比较特别,如果收敛区间(-r,r)存在,又不是(-∞,+∞) 那么在(-r,r)内,幂级数绝对收敛 在(-∞,-r)∪(r,+∞)内,幂级数发散 换言之,条件收敛的点只可能在±r处可能取得.

解:∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)[(2n+1)/(2n-1)=1,∴收敛半径R=1/ρ=1.又lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=(x^2)/R 而当x=1时,是调和级数的奇数项,发散;当x=-1时,是交错级数,满足莱布尼兹判别法条件,收敛.∴收敛区间为-1≤x 供参考.

定义幂级数 f为:.其中常数 a是收敛圆盘的中心,cn为第 n个复系数,z为变量. 收敛半径r是一个非负的实数或无穷大(),使得在 | za| r时幂级数发散. 具体来说,当 z和 a足够接近时,幂级数就会收敛,反之则可能发散.收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线.在 |z- a| = r的收敛圆上,幂级数的敛散性是不确定的:对某些 z可能收敛,对其它的则发散.如果幂级数对所有复数 z都收敛,那么说收敛半径是无穷大.

收敛域只要级数在该点收敛即可, 因此包括条件收敛的点.例如幂级数∑x^n/n的收敛域就是[-1,1), 在-1处是条件收敛的.

如果仅仅是知道在两个点的收敛和发散是不能确定幂级数收敛半径的.比如某个在0点处展开的幂级数在x=1收敛,在x=5发散,那么它的收敛半径可能是1到5之间的任何数.但是,如果知道的这两个点关于展开点是对称的,比如在0处展开的幂级数,在x=7处发散,而在-7处收敛,那么幂级数收敛半径就是7了(这两点之差的一半).因为幂级数在收敛半径只内都是收敛,只有在收敛区间端点处(距离展开点距离相同),才会出现条件收敛.

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