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正四面体内切球和外接球的半径之比1:3怎么证明?

设正四面体为PABC,两球球心重合,设为O. 设PO的延长线与底面ABC的交点为D,则PD为正四面体PABC的高,PD⊥底面ABC,且PO=R,OD=r,OD=正四面体PABC内切球的高.设正四面体PABC底面面积为S. 将球心O与四面体的4个顶

注意看这个正方体ABCD-A1B1C1D1以及四面体A1BC1D,这个四面体每条边长都是正方体面对角线的长度,所以它的四个面是全等的等边三角形,所以它是一个正四面体. 正方体的中心O到8个顶点的距离相等,也就是到正四面体四个顶点距离相等,那么正四面体的中心和O重合 设正方体边长为2,那么体对角线为2√3,所以中心O到每个顶点距离为√3,这是正四面体外接球的半径R 而根据图中建立的坐标系,O(1,1,1),面A1BD方程为x+y+z-2=0,所以O到面A1BD距离 d=|1*1+1*1+1*1-2|/√(1+1+1)=1/√3.这是内切球的半径r 那么r:R=1/√3:√3=1:3

体积比1:27方法一:设正四面体为ABCD,过A做底面BCD的垂线,垂足为M,M是△BCD的重心(三心合一),若设边长为1,则可求得BM=2/3 * √3/2 =√3/3,则AM=√6/

设正四面体为PABC,设其外接球半径为R,内切球半径为r.由于对称,两球球心重叠,设为O. 设PO的延长线与底面ABC的交点为D,则PD为正四面体PABC的高,其垂直于底面ABC,且PO=R,OD=r,OD=正四面体PABC内切球的高. 设正四面体PABC底面面积为S. 将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连结,可以得到4个全等的正三棱锥,体心为顶点,以正四面体面为底面. 每个正三棱锥体积V1=1/3*S*r 而正四面体PABC体积V2=1/3*S*(R+r) 根据前面的分析,4*V1=V2 所以,4*1/3*S*r=1/3*S*(R+r) 所以,r/R=1/3

1、正三棱锥的外接球半径求法:设a-bcd是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b,则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上.设高为am,连接dm交bc于e,连接ae,然后在面ade内做侧棱ad的垂直平分线交三棱锥的高am于o,则0就是外接球的

打错了,正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1

设正四面体为PABC,两球球心重合,设为O. 设PO的延长线与底面ABC的交点为D,则PD为正四面体PABC的高,PD⊥底面ABC,且PO=R,OD=r,OD=正四面体PABC内切球的高.设正四面体PABC底面面积为S. 将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接,可以得到4个全等的正三棱锥,球心为顶点,以正四面体面为底面.每个正三棱锥体积V1=13Sr 而正四面体PABC体积V2=13S(R+r)根据前面的分析,4V1=V2,所以,413Sr=13S(R+r),所以,R=3r,所以棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1:27.故答案为1:27.

这个很好求,外接球半径是高的3/4,内接球是高的1/4.然后高是边长的(根号6)/3,会了么?望采纳

设其半径为a 内接求可根据体积法球出其半径为12分之根号6a 外接就易球了为4分之根号6a, 所以1;3

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