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F(x,y)=x+y+xy,曲线C:x^2+y^2+xy=3,求F(x,y)在曲线C上的最大方向导数

f(xy,y^2/x)=x^2+y^2设xy=ay^2/x=b得x=a^(2/3)b^(-1/3)y=a^(1/3)b^(1/3)得f(a,b)=a^(2/3)b^(2/3)+a^(4/3)b^(-2/3)所以f(y^2/x,xy)=y^2+y^2/x^2

函数 f(x,y) = xy/√(x+y),(x,y)≠(0,0), = 0, (x,y)=(0,0),求偏导数 f'x(x,y) = y/[√(x+y)],(x,y)≠(0,0), = 0,(x,y)=(0,0),而因 lim(x→0,y=kx)f'x(x,y) = lim(x→0,y=kx)y/[√(x+y)] = lim(x→0)(kx)/{√[x+(kx)]} = k/[√(1+k)] 与 k 有关,知极限 lim(x→0,y→0)f'x(x,y) 不存在,另一个同理.

因为f(xy,x+y)=x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy所以函数f(xy,x+y)=x^2+y^2+xy可变换为f(x,y)=y^2-x

由题有:对任意x,y(-1,1),都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].取x=y=0;f(0)+f(0)=f[(0)/(1+0)]=f(0)因此f(0)=0,且定义域(-1,1)关于原点对称.又:令y=-x代入f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1-x^2)]--------1式因为x属于(-1,1),所以x^2不为1,1式为;f(x)+f(-x)=f(0)=0;因此f(-x)=-f(x)综上,函数f(x)是奇函数.证毕!

(1)由f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]得f(1/2)+f(0)=f[(1/2+0)/(1+1/2*0)]化为f(0)=0(2)证明:由f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]得f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1-x^2)]=f(0)=0则f(x)为奇函数(3)f(2x-1)

因为你说的xy*g''(r)/r^2-xy*g'(r)/r^3=0是恒成立,而xy/r^2是否为0仅在特殊值的情况下才可能成立,所以无需讨论

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